ˆ ˆ. (τελεστής καταστροφής) (τελεστής δημιουργίας) Το δυναμικό του συστήματός μας (αρμονικός ταλαντωτής μέσα σε ομογενές ηλεκτρικό πεδίο) είναι

Transcript

1 ΜΟΝΟΔΙΑΣΤΑΤΟΣ ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ ΜΕΣΕ ΣΕ ΟΜΟΓΕΝΕΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ: ΤΕΛΕΣΤΕΣ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΤΡΟΦΗΣ, ΒΑΣΙΚΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ, ΕΛΑΧΙΣΤΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΥΖΗΤΗΣΗ Ξεκινώντας από τους τελεστές δημιουργίας και καταστροφής του αρμονικού ταλαντωτή, τους οποίους θεωρούμε γνωστούς, υπολογίζουμε τους αντίστοιχους τελεστές για τον φορτισμένο αρμονικό ταλαντωτή μέσα σε ομογενές ηλεκτρικό πεδίο. Υπολογίζουμε την ελάχιστη ενέργεια του συστήματος και την κυματοσυνάρτηση που περιγράφει τη βασική κατάσταση του συστήματος. Συζητάμε τα ευρήματά μας. Λύση Για τον αρμονικό ταλαντωτή V x m x, m i a x p (τελεστής καταστροφής) m m i a x p (τελεστής δημιουργίας) m Το δυναμικό του συστήματός μας (αρμονικός ταλαντωτής μέσα σε ομογενές ηλεκτρικό πεδίο) είναι V x m x q x όπου q είναι το φορτίο του ταλαντωτή και η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου. Πράγματι dv x d q x F q. Η ένταση μπορεί να είναι θετική ή dx dx αρνητική, είναι όμως σταθερή αφού το πεδίο είναι ομογενές. Βλέπουμε ότι, για το τετραγωνικό δυναμικό του αρμονικού ταλαντωτή, οι a, a είναι γραμμικοί ως προς τη θέση x (και την ορμή p ). Η διαφορά του δυναμικού μας, V x m x q x, από το δυναμικό του αρμονικού ταλαντωτή, V x m x, είναι ο γραμμικός όρος q x. Μπορούμε, λοιπόν, να δοκιμάσουμε m i a x p b, όπου b μιγαδική σταθερά. m Τότε m * i a x p b m Έτσι, θα έχουμε m * i i a a x p b x p b m m * m i i ib * ib x xp bx px p p b x p b m m m m m

2 m i * i * p x x, p b b x b b p b m m m i m * i * p x b b x b b p b m m m Όπως στην περίπτωση του αρμονικού ταλαντωτή, θέλουμε H a a E όπου E θα είναι η ελάχιστη ενέργεια του συστήματός μας. p Όμως H m x q x. Επομένως m p m * i * m x q x p x b b x b b p b E m m m m p * * p m i m m x q x m x b b x b b p b E m m m m * i * m q x b b x b b p b E m m i m * * b b q x b b p b E m Από τον μηδενισμό του συντελεστή του p, παίρνουμε * * b b b b b. Έτσι, ο μηδενισμός του συντελεστή του x μάς δίνει m * q b b q m b q b b m m Τότε, ο μηδενισμός του σταθερού όρου b E θα μάς δώσει m m m q b E E m m m q q E E m m Ο πρώτος όρος,, είναι η ελάχιστη ενέργεια του αρμονικού ταλαντωτή και ο q δεύτερος όρος,, είναι η συνεισφορά του ομογενούς ηλεκτρικού πεδίου. m q Παρατηρήστε ότι η συνεισφορά του ηλεκτρικού πεδίου,, είναι πάντα m αρνητική, ανεξάρτητα από τη φορά του ηλεκτρικού πεδίου ( ή ) και ανεξάρτητα από το πρόσημο του φορτίου του ταλαντωτή ( q ή q ). Βλέπουμε επίσης ότι για κάθε τιμή της έντασης του ομογενούς ηλεκτρικού πεδίου, υπάρχει μια κυκλική συχνότητα, έστω, που μηδενίζει την ελάχιστη ενέργεια E. Πράγματι, είναι

3 q q q m m m Ας κάνουμε έναν έλεγχο διαστάσεων F q F kx k m q F k x m x m x x m mpx mpx mp p u t t q Βρήκαμε, λοιπόν, ότι b. Επομένως m m i q a x p m m Και m i q a x p m m Ας κάνουμε άλλον έναν έλεγχο διαστάσεων q F x m k i mu p ut x m m Και m m m x px ux utx x, επομένως οι â, â είναι αδιάστατοι, όπως θέλουμε. Μπορούμε να δείξουμε τις ακόλουθες μεταθετικές σχέσεις a, a H, a a H, a a Είναι ακριβώς οι ίδιες σχέσεις που ισχύουν για τον αρμονικό ταλαντωτή. Η η σχέση προκύπτει, χωρίς πράξεις, αν παρατηρήσουμε ότι η διαφορά των τελεστών â, â από τους αντίστοιχους του αρμονικού ταλαντωτή είναι μια σταθερά, επομένως ο μεταθέτης τους δεν αλλάζει, αφού A, B A c, B d, c, d. Δηλαδή, ο μεταθέτης a, a για το σύστημά μας είναι ίδιος με εκείνον του αρμονικού ταλαντωτή, που είναι. Η η σχέση προκύπτει από την η και την έκφραση της χαμιλτονιανής, H a a E. Πράγματι, είναι

4 H, a a a E, a a a, a E, a a a, a a a, a a, a a a, a a a, a a a H, a a Για να αποδείξουμε την η σχέση, μπορούμε να πάρουμε τους συζυγείς των τελεστών του αριστερού και του δεξιού μέλους της ης σχέσης, δηλαδή H, a a H, a a Ha ah a a H Ha a H, a a Από τη σχέση H, a a προκύπτει ότι ο â είναι ο τελεστής καταστροφής που κατεβάζει την ενέργεια μιας τυχαίας ιδιοκατάστασης πλην της βασικής κατά ένα κβάντο ίσο με. Πράγματι, αν τυχαία ιδιοκατάσταση ενέργειας E, τότε H a Ha ah ah H, a a H a E a E a E H a E a a ιδιοκατάσταση ενέργειας E Από τη σχέση H, a a προκύπτει ότι ο â είναι ο τελεστής δημιουργίας που ανεβάζει την ενέργειας μιας τυχαίας ιδιοκατάστασης συμπεριλαμβανομένης της βασικής κατά ένα κβάντο ίσο με. Πράγματι, αν τυχαία ιδιοκατάσταση ενέργειας E, τότε H a Ha a H a H H, a a H a E a H a E a a ιδιοκατάσταση ενέργειας E Σημειώνουμε ότι τα διανύσματα â και â E. δεν είναι κανονικοποιημένα, διότι ο τελεστής â δεν είναι μοναδιακός, όπως φαίνεται από τη σχέση a, a. Μπορούμε τώρα να υπολογίσουμε την κυματοσυνάρτηση που περιγράφει τη βασική κατάσταση του συστήματός μας. Αν ο τελεστής καταστροφής â δράσει στη βασική κατάσταση,, θα μας δώσει μηδέν, δηλαδή a. Αν προβάλλουμε και τα δύο μέλη της διανυσματικής αυτής εξίσωσης σε μια τυχαία ιδιοκατάσταση της θέσης, θα πάρουμε a x a a x x a x x x â x είναι η έκφραση του τελεστή â στην αναπαράσταση θέσης, όπου x d p i, δηλαδή dx m i d q m d q a x x i x m dx m m dx m Επομένως x και

5 m d q d q a x x x x x x m dx m m dx m q x x x x m m Η ως ιδιοσυνάρτηση, είναι, εξ ορισμού, γραμμικά ανεξάρτητη, επομένως δεν x μπορεί να είναι ταυτοτικά μηδενική. Έτσι, μπορούμε να διαιρέσουμε και τα δύο μέλη της τελευταίας εξίσωσης με, και να πάρουμε x x x l x q x q x m q x x x m x m m x m x x c e m q m q m q l x x l x dx x x x c m q m q x x x x x Ae x Ae Οι δύο λύσεις είναι, όπως βλέπουμε, γραμμικά εξαρτημένες, ή, ισοδύναμα, επειδή i e, συνδέονται με μια σταθερή μιγαδική φάση. Επομένως, λαμβάνοντας υπόψη τη συμμετρία φάσης της κυματοσυνάρτησης, μπορούμε να διαλέξουμε τη μία. Διαλέγουμε την x m q x x Ae. Επειδή η κατάσταση είναι δέσμια, η κυματοσυνάρτηση είναι κανονικοποιήσιμη, επομένως μπορούμε να υπολογίσουμε τη σταθερά A από τη συνθήκη κανονικοποίησης. dx x A dxe Θα θεωρήσουμε γνωστό ότι b ax bx a m q x x dxe e, a a (δείτε, π.χ., Έτσι, θα έχουμε q m q m q x x dxe e e m m m Επομένως, από τη συνθήκη κανονικοποίησης θα πάρουμε q q q m m m m m A e A e A e m Επιλέγουμε, λαμβάνοντας υπόψη τη συμμετρία φάσης της κυματοσυνάρτησης, m A Άρα e q m A

6 q m q m q q m x x m x x m m x e e x e Αν μηδενίσουμε το ηλεκτρικό πεδίο, παίρνουμε m m x x e, τη βασική κατάσταση του αρμονικού ταλαντωτή. Βρήκαμε, λοιπόν, ότι η κυματοσυνάρτηση που περιγράφει τη βασική κατάσταση μονοδιάστατου αρμονικού ταλαντωτή μέσα σε ομογενές ηλεκτρικό πεδίο είναι η m x e q E. m m q q x x m και η ενέργεια της βασικής κατάστασης είναι Σπύρος Κωνσταντογιάννης Φυσικός, M.Sc. skosta@hotmail.com